A POSTERIORI ANALYSIS OF AN ITERATIVE ALGORITHM FOR NAVIER-STOKES PROBLEM

This work deals with a posteriori error estimates for the Navier-Stokes equations. We propose a finite element discretization relying on the Galerkin method and we solve the discrete problem using an iterative method. Two sources of error appear, the discretization error and the linearization error. Balancing these two errors is very important to avoid performing an excessive number of iterations. Several numerical tests are provided to evaluate the efficiency of our indicators

Méthode de décomposition de Domaine pour les équations de Laplace et de Helmholtz (Equation de Laplace non linéaire)

L'objectif de ce travail est double : D'une part, la résolution à l'aide de la méthode de décomposition de domaine, de l'équation de Poisson et de l'équation de Helmholtz, avec donnée de Dirichlet homogène au bord. D'autre part, l'étude de l'équation de Laplace, avec donnée non linéaire g au bord en se basant sur la méthode du Min-Max. Dans la première partie, nous introduisons les outils indispensables sur lesquels nous nous sommes appuyés pour aborder les équations à résoudre et nous présentons deux méthodes indirectes de résolution de l'équation de Poisson: l'algorithme de Dirichlet-Neumann pénalisé barycentriquement et l'algorithme de Dirichlet-Neumann symétrisé, donné par le problème couplé. Le premier schéma a été proposé et démontré convergent par A. Quarteroni et A. Valli. Nous élaborons dans ce mémoire une nouvelle démonstration de convergence de l'algorithme. Le second schéma est nouveau : la condition de Dirichlet-Neumann est symétrisé. Nous montrons la convergence de cet algorithme vers le problème global. Les études théoriques ont montré que les deux méthodes discrétisées convergent et des estimations d'erreur portant sur l'ordre de la convergence ont été établies. Les résultats déjà trouvés ont été validés par les essais numériques, en utilisant le logiciel Comsol pour le maillage, avec le solveur de Matlab. Notons que l'algorithme symétrisé converge plus rapidement que celui pénalisé. Nous étudions ensuite le problème de Helmholtz avec données mixtes sur le bord actif, qui fournit le cadre du travail nécessaire pour examiner l'algorithme introduit par M.Balabane. Nous analysons les résultats théoriques obtenus et nous testons l'algorithme numériquement. Les essais décèlent une saturation de cette méthode pour le maillage considéré. De plus, cette méthode converge très lentement dans un voisinage de la fréquence résonnante. Une dégradation de la convergence est relevée quand la géométrie du domaine est complexe. Dans la deuxième partie, nous exposons une généralisation de l'étude faite par K. Medville et A. Vogelius, pour la résolution de l'équation de Laplace avec donnée non linéaire au bord. Dans le cas où la fonction est sous-linéaire, nous montrons que le problème admet au moins une solution. L'unicité est obtenue en imposant une condition de monotonie sur la fonction sous-linéaire. Dans le cas sur-linéaire, le nombre de solutions du problème dépend du signe du coefficient multipliant la fonction.This work is divided into two parts : First, a domain decomposition method for the resolution of the Poisson equation and the Helmholtz equation in a bounded domain,with Dirich let boundary condition. Second, The study of the Laplace equation, with non linear boundary condition g. using the Min-Max method. First, we elaborate some essential tools to introduce our equations, then we present two indirect methods for solving the Poisson equation : there laxed barycentric Dirichlet-Neumann algorithm and the symmetric Dirichlet-Neumann algorithm.The first algorithm was introduced and studied by A. Quarteroni, A.Valli. We present in this work a new proof of its convergence. The second scheme presented is new : we give asymmetric version of the Dirichlet-Neumann condition. We prove that this algorithm is convergent. The theoretical results show that both of the discretization methods are convergent and estimation son the error of convergence are given. We test the two methods numerically, using Comsol with Matlab solver. We notice that the symmetric method converges faster than the barycentric one.PARIS13-BU Sciences (930792102) / SudocSudocFranceF

analysis of iterative algorithms for Navier–Stokes problem

This work deals with a posteriori error estimates for the Navier–Stokes equations. We propose a finite element discretization relying on the Galerkin method and we solve the discrete problem using an iterative method. Two sources of error appear, the discretization error and the linearization error. Balancing these two errors is very important to avoid performing an excessive number of iterations. Several numerical tests are provided to evaluate the efficiency of our indicators

A FULL DISCRETISATION OF THE TIME-DEPENDENT BOUSSINESQ (BUOYANCY) MODEL WITH NONLINEAR VISCOSITY

In this article, we study the time dependent Boussinesq (buoyancy) model with nonlinear viscosity depending on the temperature. We propose and analyze first and second order numerical schemes based on finite element methods. An optimal a priori error estimate is then derived for each numerical scheme. Numerical experiments are presented that confirm the theoretical accuracy of the discretization

CONVERGENCE ANALYSIS OF TWO NUMERICAL SCHEMES APPLIED TO A NONLINEAR ELLIPTIC PROBLEM

For a given nonlinear problem discretized by standard finite elements, we propose two iterative schemes to solve the discrete problem. We prove the well-posedness of the corresponding problems and their convergence. Next, we construct error indicators and prove optimal a posteriori estimates where we treat separately the discretization and linearization errors. Some numerical experiments confirm the validity of the schemes and allow us to compare them